גר קטן שלא נתנו לו למחות

בס"ד שלום לכבוד הרב,
המניין בבית הכנסת שלנו דחוק עד מאוד ועומד על 10 אנשים. בשבת האחרונה היה חסר אדם ולכן הזדקקנו להשלים מניין עם עובר אורח חובש כיפה. לעובר האורח אף התלוו 2 ילדים והקמנו אותם "שישי". בדיעבד הסתבר כי מדובר באדם יהודי אשר ילדיו ו"אישתו" נמצאים בתהליכי גיור. שאלתנו נוגעת ביחס לשבתות הבאים:
1. האם עובר האורח הינו מומר לתיאבון בשל העובדה שהוא מקיים יחסי אישות עם גויה?.
2. האם ניתן להשלים מניין עם יהודי אשר מומר לעבירה?.
3. האם ניתן להשלים מניין עם יהודי המחלל שבת בפרהסיה?, האם ניתן להעלותו לתורה?, שליח ציבור?.

האם מותר להשאיל / להשכיר בהמה גסה לגוי באמצע השבוע ליום אחד? כלומר האם האיסור של הרמב"ם הוא גורף ואסור בכלל או כאשר בטל הטעם ( כדי שלא יעבוד בה הגוי בשבת) לדוג' שההשאלה ליום אחד זה יהיה מותר?

 שהרי חברים נוהגים לאכול לשתות ולהשתתף בשמחות וכו', דברים אלו עלולים להלביא את בננו ובנותינו להתבוללות.

כתב מרן בסימן רסח "... הרי זה גר אפילו נודע שבשביל דבר הוא מתגיר הואיל ומל וטבל יצא מכלל העובדי כוכבים וחוששים לו עד שתתברר צדקתו ואפילו חזר ועבד עבודת כוכבים הרי הוא כישראל מומר שקידושיו קידושין"
א. מה כוונת מרן "וחוששים לו עד שתתברר צדקתו"?
ב. האם הרמ"א מודה למרן? (שהרי שתק שם גבי הדין הזה)
ג. האם יש אחרונים (וגם ראשונים?) החולקים על מרן בזה? נושא אחר:
ד. האם מותר לי להכנס לבית הכסא עם "מחברת עוונות" (שבה אני כותב העבירות לזכרון כמוזכר בשערי תשובה)? אפילו שמתוך הדברים אפשר ללמוד הלכה? (שמתוך שרשום כך וכך עשיתי אפשר להבין שאסור...)

האם מותר להפליג באוניה בשבת ע"י גוי?

שלום כבוד הרב.
הנני חוזרת בתשובה. לפני מס' שנים היה לי חבר גוי בזמן שטיילתי בחו"ל. הקשר ביננו נמשך כחודש, ואחרי שחזרתי לארץ המשכנו לעדכן אחד את השני במתרחש במייל ובטלפון, עד שהקשר ניתק. לפני יומיים הוא שלח לי הזמנה כלשהי במייל. לא פתחתי אותה. ייתכן שזו הזמנה לחתונה שלו שכן אני יודעת שיש לו חברה. אני נמצאת בקשר עם בחור חוזר בתשובה. למטרת שידוך. אין לי כוונות כלפי הבחור הגוי ולא נראה לי שתהיה לי בעיה אם אני אדע שהוא ייתחתן. האם מותר לי לפתוח את המכתב? האם בכלל מותר להיות בקשר באינטרנט עם גוי?